κβατέρνιο

Η έννοια αποτελεί μια επέκταση της έννοιας μιγαδικός αριθμός και έχει καθιερωθεί στα μαθηματικά από τον Χάμιλτον. Ο όρος κ. προέρχεται από τον αγγλικό quaternion, ο οποίος στα ελληνικά θα μπορούσε να αποδοθεί με τον όρο τετράδα. Αν θεωρήσουμε την τετράδα συμβόλων (1, i, j, k), μπορούμε να σχηματίσουμε ένα σύνολο από σύμβολα όπως το: α + βi + γj + δk, όπου α, β, γ, δ είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που ορίζεται έτσι ονομάζεται σύνολο των κ. Κάθε στοιχείο του α + βi + γj + δk ονομάζεται μια κ. Στο σύνολο των κ. –ας το συμβολίζουμε με Τα– ορίζεται η ισότητα και οι πράξεις με τρόπο ανάλογο προς εκείνον που χρησιμοποιούμε για τον ορισμό των μιγαδικών αριθμών. Η ισότητα ορίζεται έτσι: α₁ + β₁i + γ₁j + δ₁k = α₂ + β₂i + γ₂j + δ₂k, αν και μόνο αν α₁ = α₂, β₁ = β₂ γ₁ = γ₂ και δ₁ = δ₂. Η πρόσθεση ορίζεται έτσι: (α₁ + β₁i + γ₁j + δ₁k) + (α₂ + β₂i + γ₂j + δ₂k) = (α₁+ α₂) + (β₁ + β₂)i + (γ₁ + γ₂)j + (δ₁ +δ₂)k Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται έτσι: (α₁ + β₁ + γ₁j + δ₁k) · (α₂ + β₂i + γ₂j + δ₂k) = με ό,τι προκύπτει, αν πολλαπλασιαστεί η α’ με τη β’ παράσταση τυπικά (σαν να επρόκειτο για παραστάσεις της κοινής άλγεβρας) και μετά ληφθούν υπόψη τα εξής: i² = j² = k² = -1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j. To σύνολο {1, i, j, k} είναι μια μη αντιμεταθετική ομάδα τάξης 8 και το σύνολο Τ των κ. είναι ένα σώμα, στο οποίο ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός. Αν x = α + βi + γj + δk είναι μια κ., η  ονομάζεται: η συζυγής της x και ισχύουν: , . Ο αριθμός  ονομάζεται: η νορμ της x. Ισχύει Ν(xy) = N(x)Ν(y).